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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.6 - Ex. 34

Sua empresa de engenharia está tentando fechar contrato para a construção de um túnel, como o que mostra a figura a seguir. O túnel tem 300   p é s de comprimento por 50   p é s de largura na base. Sua seção transversal tem a forma de um arco da curva y   =   25   c o s   ( π x / 50 ) . Após a conclusão, a superfície interna do túnel (excluindo a pista) será tratada com um selante impermeável cuja aplicação custa $   1,75 por pé quadrado. Quanto custará a aplicação do selante? (Dica: use integração numérica para calcular o comprimento da cossenoide.)

Passo 1

Aviso aos Navegantes: Essa é uma questão de integração numérica. Isso significa que precisaremos de uma calculadora em algum momento de nosso cálculo. Então nós queremos saber na real o comprimento da função 25   c o s   ( π x / 50 ) . E depois multiplicar por 300 * 1,75 , para obter o custo total.

Vamos lembrar que o comprimento (   C   ) de uma função pode ser encontrada por :

C =   ∫ a b 1 + f ' x 2     d x

Então precisamos encontrar a derivada de nossa função primeiro.

Passo 2

f x =   25   c o s   ( π x / 50 ) .    

f ' x = - 25 * π 50 s e n π x / 50    

f ' x 2 = π 2 4 sen 2 ⁡ π x / 50  

Então nosso comprimento fica

C =   ∫ a b 1 + f ' x 2     d x

C =   ∫ - 25 25 1 + π 2 4 sen 2 ⁡ π x / 50       d x

E é essa a parte numérica. Vamos apelar para nossa calculadora.

C = 73,2   p e

Agora vamos calcular o custo total (   C T )

C T = 73,2 * 300 * 1,75 → R $   38.430

Por aqui terminamos, te encontro na próxima resolução. : )

Resposta

C T = R $   38.430

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