Enunciado

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

32. int_0^((1)/(sqrt(3))) (d x)/(1 + 4 x^2)

Passo 1

Então pessoal, esse é um tipo de integral que chamamos de IMEDIATA! Esse nome é dado para integrais tabeladas, cujo resultado já é manjado, beleza? Lá em derivação vimos que a função cuja derivada é (1)/(1 + x^2) , é a função a r c t g ( x ) . Sendo assim, basta substituirmos esse resultado com os intervalos de integração e pronto! Se liga!

Passo 2

A diferença da nossa integral para a imediata é esse número 4 multiplicando, mas isso não altera muita coisa, apenas aparecerá um número 2 multiplicando o arco e um número 2 dividindo a função. Se fosse 9 x^2 ali embaixo, ao invés de ser 2 multiplicando o arco e dividindo a função, seria 3; com 16 seria 4, e assim por diante. Dessa forma, temos:

int_0^((1)/(sqrt(3))) (d x)/(1 + 4 x^2) = (1)/(2) [a r t c t g (2 x)] ((1)/(sqrt(3)))/(0)

int_0^((1)/(sqrt(3))) (d x)/(1 + 4 x^2) = (1)/(2) (a r c t g ((2)/(sqrt(3))))

:. int_0^((1)/(sqrt(3))) (d x)/(1 + 4 x^2) = (1)/(2) (a r c t g ((2)/(sqrt(3))))

Resposta

int_0^((1)/(sqrt(3))) (d x)/(1 + 4 x^2) = (1)/(2) (a r c t g ((2)/(sqrt(3))))

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