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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 24

Calcule as integrais nos Exercícios 1-34.

24. int_1^8 (( x^((1)/(3)) + 1 ) ( 2 - x^((2)/(3)) ))/(x^((1)/(3))) d x

Passo 1

De ínicio, pessoal, o que deve ser feito com muuuita urgência é simplificar essa coisa feiona aí, ok? Se simplificarmos devagarinho, teremos:

int_1^8 (2 x^((1)/(3)) - x - x^((2)/(3)) + 2)/(x^((1)/(3))) d x = int_1^8 ( 2 - x^((2)/(3)) + 2 x^(- (1)/(3)) - x^((1)/(3)) ) d x

Agora que simplificamos esse integrando, como sabemos que a integral de uma soma é igual a soma das integraias, então teremos:

2 int_1^8 d x - int_1^8 x^((2)/(3)) d x + 2 int_1^8 x^(- (1)/(3)) d x - int_1^8 x^((1)/(3)) d x

A propriedade que devemos utilizar para resolver essas integrais é a seguinte:

int u^n d u = (u^(n + 1))/(n + 1)

Passo 2

Utilizando a regra comentada no passo anterior, teremos:

2 int_1^8 d x - int_1^8 x^((2)/(3)) d x + 2 int_1^8 x^(- (1)/(3)) d x - int_1^8 x^((1)/(3)) d x = 2 [x] (8)/(1) - (3)/(5) [x^((5)/(3))] (8)/(1) + 2 . (3)/(2) [x^((2)/(3))] (8)/(1) - (3)/(4) [x^((4)/(3))] (8)/(1)

2 int_1^8 d x - int_1^8 x^((2)/(3)) d x + 2 int_1^8 x^(- (1)/(3)) d x - int_1^8 x^((1)/(3)) d x = (16 - 2) - ((3)/(5) (8^((5)/(3))) - (3)/(5)) + (3 (8^((2)/(3))) - 3)

- ((3)/(4) (8^((4)/(3))) - (3)/(4))

Fazendo as devidas simplificações e reduções, teremos o seguinte:

2 int_1^8 d x - int_1^8 x^((2)/(3)) d x + 2 int_1^8 x^(- (1)/(3)) d x - int_1^8 x^((1)/(3)) d x = 14 - (93)/(5) + 9 - 12 + (3)/(4)

:. int_1^8 (( x^((1)/(3)) + 1 ) ( 2 - x^((2)/(3)) ))/(x^((1)/(3))) d x = - (137)/(20)

Resposta

int_1^8 (( x^((1)/(3)) + 1 ) ( 2 - x^((2)/(3)) ))/(x^((1)/(3))) d x = - (137)/(20)

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