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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 5

Calcule as integrais nos Exercícios 5 e 6.

5. int_(( - 1,1 , 1 ))^(( 4 , - 3,0 )) (d x + d y + d z)/(sqrt(x + y + z))

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, notamos que essa integral pode ser escrita como

int_((- 1,1 , 1))^((4 , - 3,0)) (d x + d y + d z)/(sqrt(x + y + z)) = int_((- 1,1 , 1))^((4 , - 3,0)) F * d r

Onde F = (( i + j + k ))/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) . Além disso, notamos que este é um campo gradiente porque a derivada de qualquer um de seus componentes em relação a qualquer variável é a mesma

(del)/(del x) (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) = (del)/(del y) (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2)) = (del)/(del z) (1)/(sqrt(x^2 + y^2 + z^2))

É possível notar que

F = grad (2 sqrt(x + y + z))

Portanto,

int_((- 1,1 , 1))^((4 , - 3,0)) F * d r = int_((- 1,1 , 1))^((4 , - 3,0)) d f = f (4 , - 3,0) - f (- 1,1 , 1)

Substituindo os termos

int_((- 1,1 , 1))^((4 , - 3,0)) F * d r = 2 sqrt(4 - 3 + 0) - 2 sqrt(- 1 + 1 + 1) = 2 sqrt(1) - 2 sqrt(1) = 0

Resposta

int_((- 1,1 , 1))^((4 , - 3,0)) (d x + d y + d z)/(sqrt(x + y + z)) = 0

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