Calcule as integrais nos Exercícios 5 e 6.

5. ∫ ( - 1,1 , 1 ) ( 4 , - 3,0 ) d x + d y + d z x + y + z

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Primeiramente, notamos que essa integral pode ser escrita como

  ∫ - 1,1 , 1 4 , - 3,0 d x + d y + d z x + y + z =     ∫ - 1,1 , 1 4 , - 3,0 F ∙ d r

Onde F = ( i + j + k ) x 2 + y 2 + z 2 . Além disso, notamos que este é um campo gradiente porque a derivada de qualquer um de seus componentes em relação a qualquer variável é a mesma

∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + z 2 = ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 + z 2 = ∂ ∂ z 1 x 2 + y 2 + z 2

É possível notar que

F = ∇ 2 x + y + z

Portanto,

∫ - 1,1 , 1 4 , - 3,0 F ∙ d r = ∫ - 1,1 , 1 4 , - 3,0 d f = f 4 , - 3,0 - f - 1,1 , 1

Substituindo os termos

∫ - 1,1 , 1 4 , - 3,0 F ∙ d r = 2 4 - 3 + 0 - 2 - 1 + 1 + 1 = 2 1 - 2 1 = 0

Resposta

  ∫ - 1,1 , 1 4 , - 3,0 d x + d y + d z x + y + z = 0

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