Calcule as integrais nos Exercícios 5 e 6.

6. ∫ ( 1,1 , 1 ) ( 10,3 , 3 ) d x - z y   d y - y z   d z

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Notamos que essa integral pode ser escrita como

∫ 1,1 , 1 10,3 , 3 F ∙ d r

Onde F = M i + N j + P k = i - z y j - y z k . Também notamos que este campo vetorial é conservativo porque

∇ × F = ∂ P ∂ y - ∂ N ∂ z i + ∂ M ∂ z - ∂ P ∂ x j + ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y k

Desenvolvendo os termos,

∇ × F = 1 2 y z - 1 2 y z i + 0 - 0 j + 0 - 0 k = 0

Agora, determinamos uma função escalar f tal que f = ∇ f . Como d f d z = P , nós temos que

∂ f ∂ z = y z → f x , y , z = ∫ - y z   d z

Desenvolvendo os termos

∂ f ∂ y = - 2 z y + ∂ C ∂ y = - z y

Com isso,

∂ C ∂ y = 0

Passo 2

Onde C é uma função da variável x . De ∂ f ∂ x = M ,

∂ f ∂ x = 1 → ∂ ∂ x - 2 y z + C x = 1

Com isso,

C ' x = 1 → C x = x + c

Onde c é uma constante real que por conveniência é escolhida como zero. Desta forma,

F = ∇ - 2 y z + x

E a integral de linha resulta em

∫ 1,1 , 1 10,3 , 3 F ∙ d r = f 10,3 , 3 - f 1,1 , 1

Substituindo os termos

∫ 1,1 , 1 10,3 , 3 F ∙ d r = - 3 ∙ 3 + 10 - 1 ∙ 1 + 1 = - 3 + 10 - 2 = 5

Finalmente, nós temos que

∫ 1,1 , 1 10,3 , 3 d x - z y d y - y z d z = 5

Resposta

∫ 1,1 , 1 10,3 , 3 d x - z y d y - y z d z = 5

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