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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 6

Calcule as integrais nos Exercícios 5 e 6.

6. int_(( 1,1 , 1 ))^(( 10,3 , 3 )) d x - sqrt((z)/(y)) d y - sqrt((y)/(z)) d z

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Notamos que essa integral pode ser escrita como

int_((1,1 , 1))^((10,3 , 3)) F * d r

Onde F = M i + N j + P k = i - sqrt((z)/(y)) j - sqrt((y)/(z)) k . Também notamos que este campo vetorial é conservativo porque

grad xx F = ((del P)/(del y) - (del N)/(del z)) i + ((del M)/(del z) - (del P)/(del x)) j + ((del N)/(del x) - (del M)/(del y)) k

Desenvolvendo os termos,

grad xx F = ((1)/(2 sqrt(y z)) - (1)/(2 sqrt(y z))) i + (0 - 0) j + (0 - 0) k = 0

Agora, determinamos uma função escalar f tal que f = grad f . Como (d f)/(d z) = P , nós temos que

(del f)/(del z) = sqrt((y)/(z)) -> f (x , y , z) = int - sqrt((y)/(z)) d z

Desenvolvendo os termos

(del f)/(del y) = - 2 sqrt((z)/(y)) + (del C)/(del y) = - sqrt((z)/(y))

Com isso,

(del C)/(del y) = 0

Passo 2

Onde C é uma função da variável x . De (del f)/(del x) = M ,

(del f)/(del x) = 1 -> (del)/(del x) [- 2 sqrt(y z) + C (x)] = 1

Com isso,

C^' (x) = 1 -> C (x) = x + c

Onde c é uma constante real que por conveniência é escolhida como zero. Desta forma,

F = grad (- 2 sqrt(y z) + x)

E a integral de linha resulta em

int_((1,1 , 1))^((10,3 , 3)) F * d r = f (10,3 , 3) - f (1,1 , 1)

Substituindo os termos

int_((1,1 , 1))^((10,3 , 3)) F * d r = - sqrt(3 * 3) + 10 - (sqrt(1 * 1) + 1) = - 3 + 10 - 2 = 5

Finalmente, nós temos que

int_((1,1 , 1))^((10,3 , 3)) d x - sqrt((z)/(y)) d y - sqrt((y)/(z)) d z = 5

Resposta

int_((1,1 , 1))^((10,3 , 3)) d x - sqrt((z)/(y)) d y - sqrt((y)/(z)) d z = 5

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