Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.1 - Ex. 21
Determine o campo vetorial gradiente de .
Passo 1
Oiii, galera! Tudo certo?
A questão pede pra gente o campo vetorial gradiente de
O campo vetorial de uma função é dado por , cuja equação é:
Note que e são as derivadas parciais da nossa função em relação a cada variável. Também podemos escrever essas derivadas parciais como e .
Bem, então o que precisamos fazer aqui é, calcularmos as derivadas parciais da nossa equação e substituí-las na equação do nosso campo vetorial. Bem simples, né?
Vamos lá, então!
Passo 2
Começando pela determinação das derivadas da nossa função:
Para , temos que derivar em função de , ou seja, tratando como constate. Assim, ficamos com:
E para , temos que derivar em função de , ou seja, tratando como constate. Assim, ficamos com ficamos com o seguinte:
Não esquece da regra da cadeia, onde a gente deriva primeiro a função com o argumento e multiplicamos pela derivada somente do argumento, quando temos uma função dentro da outra.
Passo 3
Pra finalizar, vamos juntar o que achamos no Passo 2 com o Passo 1, olha só:
Encontramos finalmente nosso campo vetorial gradiente!