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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 21

Encontre parametrizações para as superfícies nos Exercícios 19-24. (Existem muitas formas de fazer isso, de modo que suas respostas podem não ser as mesmas que estão no final do livro.)

21. Cone – O cone z = 1 + x 2 + y 2 ,     z ≤ 3

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para encontrar uma parametrização para esta superfície podemos considerar coordenadas cilíndricas

x = r cos ⁡ θ ,     y = r sen ⁡ θ   e   z = z

Nestas coordenadas a equação do cone pode ser escrita como

z = 1 + x 2 + y 2 = 1 + r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ = 1 + r 2 = 1 + r

Observe que a projeção da superfície no plano x y é um círculo centrado na origem, então 0 ≤ θ ≤ 2 π . Por outro lado, z ≤ 3 , então

z ≤ 3 → 1 + r ≤ 3 → r ≤ 2

Assim, uma equação paramétrica para esta superfície é:

r r , θ = r cos ⁡ θ i + r sen ⁡ θ j + 1 + r k

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ 2 .

Resposta

r r , θ = r cos ⁡ θ i + r sen ⁡ θ j + 1 + r k

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