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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 45

Fio com densidade constante - Um fio de densidade constante δ = 1 está ao longo da curva r t = e t cos ⁡ t i + e t sen ⁡ t j + e t k ,   0 ≤ t ≤ ln ⁡ 2 . Encontre z e I z .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para encontrar z - primeiro determinamos a massa do fio

M = ∫ δ   d s = ∫ 0 ln ⁡ 2 δ t d s ( t ) = ∫ 0 ln ⁡ 2 d s ( t )

Nós podemos calcular a derivada a partir disto

d s = x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2

Com isso,

d s = e t cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 + e t sen ⁡ t + cos ⁡ t 2 + e 2 t   d t

Que tem como resultado

d s = 3 e t   d t

Logo,

M = ∫ 0 ln ⁡ 2 3   e t   d t = 3   e t 0 ln ⁡ 2

Simplificando um pouco mais os termos

M = 3 2 e 2 ln ⁡ 2 - 1 = 3 3 2

Passo 2

Portanto, a coordenada z do centro de massa é

z - = 1 M M x y = 3 3 2 3 = 3 2

Agora, o momento de inércia em relação ao eixo z é

I z = ∫ x 2 + y 2 δ   d s = ∫ 0 ln ⁡ 2 3 x 2 t + y 2 t e t   d t

Onde

x 2 t + y 2 t = e 2 t cos 2 ⁡ t + e 2 t sen 2 ⁡ t = e 2 t

Portanto, temos que

I z = ∫ 0 ln ⁡ 2 3 e 2 t e t d t = ∫ 0 ln ⁡ 2 3 e 3 t d t

Esta integral tem como resultado

I z = 3 3 e 3 t 0 ln ⁡ 2 = 3 3 e ln ⁡ 2 3 - 1 = 7 3 3

Resposta

z - = 3 2   e   I z = 7 3 3

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