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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 19

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int theta root(4)(1 - theta^2) d theta

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de root(4)(theta) com 1 - theta^2 , então vamos fazer

u = 1 - theta^2

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d theta no final:

u = 1 - theta^2 -> d u = (1 - theta^2)^' d theta = (- 2 theta) d theta

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int theta root(4)(1 - theta^2) d theta

O termo dentro da raiz é o próprio u !

int theta root(4)(u) d theta

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (- 2 theta) d theta -> - (d u)/(2) = (- (1)/(2)) (- 2 theta) d theta -> - (d u)/(2) = theta d theta

Agora podemos substituir na integral :D

int theta root(4)(u) d theta = int root(4)(u) (- (d u)/(2)) = - (1)/(2) int root(4)(u) d u = - (1)/(2) int u^((1)/(4)) d u

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- (1)/(2) int u^((1)/(4)) d u = (- (1)/(2)) ((4)/(5) u^((5)/(4))) + C = - (2 u^((5)/(4)))/(5) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int theta root(4)(1 - theta^2) d theta = - (2 ( 1 - theta^2 )^((5)/(4)))/(5) + C

Resposta

- (2 ( 1 - theta^2 )^((5)/(4)))/(5) + C

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