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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 4

Calcule a integral:

int_((1)/(2))^((1)/(4)) 2 cot ( pix ) d x

Passo 1

Galera, para realizar essa integração vamos realizar a seguinte substituição:

u = pi x

d u = pi d x

(d u)/(pi) = d x

Assim,

int 2 cot u (d u)/(pi) = (2)/(pi) int cot u d u

= (2)/(pi) ln |sin u|

Passo 2

Agora, voltamos para a variável inicial e aplicamos os limites de integração:

= (2)/(pi) [ln |sin ( pi x )|] ((1)/(4))/((1)/(2))

= (2)/(pi) [ln (sin ((pi)/(4))) - ln (sin ((pi)/(2)))]

= (2)/(pi) (ln ((sqrt(2))/(2)) - ln 1)

Sabendo que ln 1 = 0 . Temos:

= (2)/(pi) (ln ((sqrt(2))/(2))) = (ln sqrt(2)^2)/(2 pi) = (ln 2)/(2 pi)

Resposta

(ln 2)/(2 pi)

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