Calcule a integral:

∫ 1 2 1 4 2   cot ⁡ ( πx ) ⁡   d x

Passo 1

Galera, para realizar essa integração vamos realizar a seguinte substituição:

u = π x

d u = π d x

d u π = d x

Assim,

∫ 2 cot ⁡ u d u π = 2 π ∫ cot ⁡ u   d u

= 2 π ln ⁡ sin ⁡ u

Passo 2

Agora, voltamos para a variável inicial e aplicamos os limites de integração:

= 2 π ln ⁡ sin ⁡ ( π x ) 1 4 1 2

= 2 π ln ⁡ sin ⁡ π 4 - ln ⁡ sin ⁡ π 2

=   2 π ln ⁡ 2 2 - ln ⁡ 1

Sabendo que ln ⁡ 1 = 0 . Temos:

=   2 π   ln ⁡ 2 2 =   ln ⁡ 2 2 2 π =   ln ⁡ 2   2 π

Resposta

ln ⁡ 2   2 π

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