Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ t 3 1 + t 4 3 d t

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de t 3 com 1 + t 4 , então vamos fazer

u = 1 + t 4

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d t no final:

u = 1 + t 4 → d u = 1 + t 4 ' d t = 4 t 3 d t

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ t 3 1 + t 4 3 d t

Temos então que

∫ t 3 u 3 d t

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = 4 t 3 d t → 1 4 d u = 1 4 4 t 3 d t → 1 4 d u = t 3 d t

Agora podemos substituir na integral :D

∫ t 3 u 3 d t = ∫ u 3 d u 4 = 1 4 ∫ u 3 d u

Passo 4

Agora podemos resolver a integral acima usando a tabela de primitivas:

1 4 ∫ u 3 d u = 1 4 u 4 4 + C = u 4 16 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ t 3 1 + t 4 3 d t = ( 1 + t 4 ) 4 16 + C

Resposta

( 1 + t 4 ) 4 16 + C

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