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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 37

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int t^3 (1 + t^4)^3 d t

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de t^3 com 1 + t^4 , então vamos fazer

u = 1 + t^4

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d t no final:

u = 1 + t^4 -> d u = (1 + t^4)^' d t = (4 t^3) d t

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int t^3 (1 + t^4)^3 d t

Temos então que

int t^3 (u)^3 d t

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (4 t^3) d t -> ((1)/(4)) d u = ((1)/(4)) (4 t^3) d t -> ((1)/(4)) d u = (t^3) d t

Agora podemos substituir na integral :D

int t^3 (u)^3 d t = int u^3 ((d u)/(4)) = (1)/(4) int u^3 d u

Passo 4

Agora podemos resolver a integral acima usando a tabela de primitivas:

(1)/(4) int u^3 d u = ((1)/(4)) ((u^4)/(4)) + C = (u^4)/(16) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int t^3 (1 + t^4)^3 d t = (( 1 + t^4 )^4)/(16) + C

Resposta

(( 1 + t^4 )^4)/(16) + C

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