Encontre a integral indefinida geral.

∫ z 2 z 3 + 1 d z

Passo 1

Opa, bora calcular essa integral aqui:

∫ z 2 z 3 + 1 d z

Pra isso vamos utilizar o método de substituição simples! Uma dica legal pra escolher quem vai ser o u é pensar:

“o que, que, se eu substituir por u vai transformar essa integral em uma integral mais simples de resolver?!”

O u geralmente vai ser a parte mais complicadinha da nossa função e depois derivamos ele pra achar d u / d z e fazer a substituição!

A ideia é que du seja igual tudo que restou, pra que toda nossa integral fique em função de u . Nem sempre dá pra fazer isso de uma forma direta, as vezes vamos precisar de uns truquezinhos. Vem comigo que eu te mostro!

Feito isso bora integrar, e para isso vamos usar nossa tabela de primitivas:

E por fim, mas não menos importante, vamos voltar o valor de u para o valor original!

Ufa! Agora mão na massa!

Passo 2

Nosso u será a função mais complicada, neste caso ao cubo é mais complicado que ao quadrado, assim:

u = z 3 + 1

Agora calculamos d u :

d u d z = 3 z 2 ∴

d z = 1 3 z 2   d u

Passo 3

Agora vamos substituir em nossa integral:

∫ z 2 z 3 + 1 d z = ∫ z 2 u 1 3 z 2   d u

Simplificando:

= ∫ 1 3 u d u

Agora ficamos com uma integral bem simplinha de resolver!

Chegamos em uma integral que está na nossa tabela:

∫ 1 x   d x = ln ⁡ x + C

E não esquece da constante C em?

Então, colocando a constante para fora e resolvendo, temos:

1 3 ∫ 1 u d u = 1 3 ln ⁡ u + C

Lembrando que u = z 3 + 1 , então vamos substituir:

∫ z 2 z 3 + 1 d z = 1 3 ln ⁡ z 3 + 1 + C

Prontinho! Resolvemos!

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Resposta

∫ z 2 z 3 + 1 d z = 1 3 ln ⁡ z 3 + 1 + C

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