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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1s

Calcule

s) int_0^1 (x)/((x + 1)^5) d x

Passo 1

Aqui temos que calcular a integral do item s) int_0^1 (x)/((x + 1)^5) d x

Passo 2

Para calcular esta integral temos que fazer uma substituição simples

int_0^1 (x)/((x + 1)^5) d x

Onde

u = x + 1

Logo

u - 1 = x

d u = d x

Substituindo

int_0^1 (u - 1)/((u)^5) d u = int_0^1 (u)/((u)^5) d u - int_0^1 (1)/(u^5) d u

Fazendo a primeira integral

int_0^1 (u)/((u)^5) d u = ((1)/(- 3)) ((1)/(u^3))

Para a segunda temos

int_0^1 (1)/(u^5) = (- (1)/(4)) ((1)/(u^4))

Agora basta reverter a substituição

(- (1)/(3)) ((1)/(u^3)) - (- (1)/(4)) ((1)/(u^4)) = [(- (1)/(3)) ((1)/((x + 1)^3)) + ((1)/(4)) ((1)/((x + 1)^4))]_0^1

Passo 3

Agora basta substituir os limites de itnegração

[(- (1)/(3)) ((1)/((x + 1)^3)) + ((1)/(4)) ((1)/((x + 1)^4))]_0^1 = (- (1)/(3)) ((1)/(8)) + ((1)/(4)) ((1)/(16)) - ((- (1)/(3)) + ((1)/(4))) = - (1)/(24) + (1)/(64) + (1)/(3) - (1)/(4)

Agora fazendo o mmc

- (1)/(24) + (1)/(64) + (1)/(3) - (1)/(4) = - (8)/(192) + (3)/(192) + (64)/(192) - (48)/(192) = (11)/(192)

Resposta

int_0^1 (x)/((x + 1)^5) d x = (11)/(192)

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