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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 1u

Calcule

u) int_1^2 x^2 (x - 2)^(10) d x

Passo 1

Aqui temos que calcular a integral do item u) int_1^2 x^2 (x - 2)^(10) d x

Passo 2

Para calcular esta integral temos que fazer uma substituição simples

int_1^2 x^2 (x - 2)^(10) d x

Onde

u = x - 2

Logo

u + 2 = x

d u = d x

Substituindo

int_1^2 (u + 2)^2 (u)^(10) d u = int (u^2 + 4 u + 4) (u)^(10) d u = int u^(12) d u + int 4 u^(11) d u + int 4 u^(10) d u

Fazendo a primeira integral

int u^(12) d u = (u^(13))/(13)

Para a segunda temos

int 4 u^(1 1) d u = 4 (u^(1 2))/(1 2)

Para a terceira

int 4 u^(1 0) d u = 2 (u^(1 1))/(1 1)

Agora basta reverter a substituição

(u^(13))/(13) + (4 u^(12))/(12) + (4 u^(11))/(11) = ((( x - 2 )^(13))/(13) + (4 ( x - 2 )^(12))/(12) + (4 ( x - 2 )^(11))/(11))_1^2

Passo 3

Agora basta substituir os limites de integração

((( x - 2 )^(13))/(13) + (4 ( x - 2 )^(12))/(12) + (4 ( x - 2 )^(11))/(11))_1^2 = (1)/(1 3) - (1)/(3) + (4)/(11) = (46)/(429)

Resposta

(46)/(429)

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