Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 40

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (1)/(x^3) sqrt((x^2 - 1)/(x^2)) d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Mas antes vamos dar uma manipulada no integrando:

int (1)/(x^3) sqrt((x^2 - 1)/(x^2)) d x = int (1)/(x^3) sqrt(1 - (1)/(x^2)) d x

Aqui no nosso caso temos a composta de sqrt(x) com 1 - (1)/(x^2) , então vamos fazer

u = 1 - (1)/(x^2)

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 1 - (1)/(x^2) -> d u = (1 - (1)/(x^2))^' d x = ((2)/(x^3)) d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int (1)/(x^3) sqrt(1 - (1)/(x^2)) d x

Temos então que

int (1)/(x^3) sqrt(u) d x

Agora e o resto da integral? Dá uma olhada na expressão do d u ! É igualzinho, então só substituir na integral

int (1)/(x^3) sqrt(u) d x = (1)/(2) int sqrt(u) d u = (1)/(2) int u^((1)/(2)) d u

Passo 4

Agora podemos resolver a integral acima usando a tabela de primitivas:

(1)/(2) int u^((1)/(2)) d u = (1)/(2) ((2)/(3) u^((3)/(2))) + C = (u sqrt(u))/(3) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int (1)/(x^3) sqrt((x^2 - 1)/(x^2)) d x = ((1 - (1)/(x^2)) sqrt((1 - (1)/(x^2))))/(3) + C

Resposta

((1 - (1)/(x^2)) sqrt((1 - (1)/(x^2))))/(3) + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha f contínua em - 2,0 . Calcule ∫ 0 2 f x - 2 d x , sabendo que ∫ - 2 0 f x d x = 3 .
Calcule. ∫ 1 2 2 3 x - 2 3 d x
Calcule. ∫ 0 1 x x 2 + 3 d x
Calcule. ∫ 1 2 x - 2 5 d x
Calcule.int_(- 3)^4 root(3)(5 - x) d x