Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

∫ 1 x 3 x 2 - 1 x 2 d x

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Mas antes vamos dar uma manipulada no integrando:

∫ 1 x 3 x 2 - 1 x 2 d x = ∫ 1 x 3 1 - 1 x 2 d x

Aqui no nosso caso temos a composta de x com 1 - 1 x 2 , então vamos fazer

u = 1 - 1 x 2

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d x no final:

u = 1 - 1 x 2 → d u = 1 - 1 x 2 ' d x = 2 x 3 d x

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

∫ 1 x 3 1 - 1 x 2 d x

Temos então que

∫ 1 x 3 u d x

Agora e o resto da integral? Dá uma olhada na expressão do d u ! É igualzinho, então só substituir na integral

∫ 1 x 3 u d x = 1 2 ∫ u d u = 1 2 ∫ u 1 2 d u

Passo 4

Agora podemos resolver a integral acima usando a tabela de primitivas:

1 2 ∫ u 1 2 d u = 1 2 2 3 u 3 2 + C = u u 3 + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

∫ 1 x 3 x 2 - 1 x 2 d x = 1 - 1 x 2 1 - 1 x 2 3 + C

Resposta

1 - 1 x 2 1 - 1 x 2 3 + C

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