Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 29
Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Fala, pessoal! Nesse exercício, precisamos calcular a integral indefinida
Em um primeiro momento, essa integral não se parece com nenhuma das presentes na Tabela de Integrais Indefinidas, para as quais conhecemos uma fórmula para o seu cálculo, né? Lá temos que
e também que
onde e são constantes quaisquer.
🤔 Mas nesse exercício, temos que o integrando é dado pelo produto entre a função e a função Então, como resolvemos essa questão?
Utilizando a Regra da Substituição para transformar essa integral em uma das integrais presentes na Tabela, e que mostramos acima. Vamos relembrar rapidamente o que essa regra diz, beleza?
Regra da Substituição:
Se definirmos a função derivável como uma variável , ou seja, , e se a função for contínua em seu domínio então vale que
desde que a imagem de esteja contida no domínio de
🤔 Mas como usamos essa Regra nessa questão?
No próximo Passo, vamos escolher as funções e de maneira conveniente, que nos possibilite usa uma das duas fórmulas da Tabela que mostramos aqui em cima.
💡 Vamos relembrar de uma propriedade das integrais indefinidas que vai nos ajudar a resolver essa questão.
- A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.
Além disso, precisamos relembrar da seguinte derivada:
Temos tudo o que precisamos. Bora lá!
Passo 2
Perceba que como temos a função dentro da função seno e fora dela, então uma boa escolha para e é dada por
e
pois
e, além disso, derivando em relação à variável , temos que
ou seja,
Logo, substituindo os respectivos valores, vale que
ou seja,
Sendo assim, pela Regra da Substituição temos que a integral do enunciado pode ser reescrita como
onde
Mas observe que essa integral da direita, em função da variável , nós sabemos calcular né? Como relembramos no Passo temos que
Logo,
ou seja, temos que
onde é uma constante qualquer.
Passo 3
⚠️ Cuidado que ainda não terminamos!
A igualdade
não é a resposta final, né? Pois precisamos reverter a mudança de variável que fizemos ao assumir
Fazendo isso, vamos ter que
ou seja, a integral do enunciado vale
Resposta
A integral é dada por:
onde é uma constante qualquer.