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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 45

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (x + 1)^2 (1 - x)^5 d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer nesse exercício é uma substituição de variável para tentarmos nos livrar desse termo a quinta chato aí:

u = 1 - x

Derivando dos dois lados:

d u = 0 - d x = - d x

Substituindo na integral:

int (x + 1)^2 (1 - x)^5 d x = - int (x + 1)^2 (u)^5 d u

Conseguimos substituir o termo (1 - x) e d x , mas falta substituir o termo x + 1 , para isso:

u = 1 - x -> x = 1 - u

Passo 2

Substituindo na integral:

- int (x + 1)^2 (u)^5 d u = - int (1 - u + 1)^2 u^5 d u

- int (2 - u)^2 u^5 d u

Abrindo o termo quadrático:

- int (4 - 4 u + u^2) u^5 d u

Passo 3

Fazendo o chuveirinho:

- int (4 u^5 - 4 u^6 + u^7) d u

Aí é só resolver a integral:

- int (4 u^5 - 4 u^6 + u^7) d u = - ((4 u^(5 + 1))/(5 + 1) - (4 u^(6 + 1))/(6 + 1) + (u^(7 + 1))/(7 + 1)) = - (4 u^6)/(6) + (4 u^7)/(7) - (u^8)/(8)

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

- (4 u^6)/(6) + (4 u^7)/(7) - (u^8)/(8) = - (2 (1 - x)^6)/(3) + (4 (1 - x)^7)/(7) - ((1 - x)^8)/(8) + C

Fim!!!

Resposta

- (2 (1 - x)^6)/(3) + (4 (1 - x)^7)/(7) - ((1 - x)^8)/(8) + C

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