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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 52

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (sin 2 theta) e^(sin^2 theta) d theta

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável:

u = sin^2 theta

Derivando dos dois lados:

d u = (sin^2 theta)^' = (sin theta sin theta)^'

Lembrando da regra do produto da derivada:

d u = (cos theta s i n theta + sin theta cos theta) d theta = 2 sin theta cos theta d theta

Lembrando das relações trigonométricas:

sin (theta + theta) = + sin theta cos theta + + sin theta cos theta = 2 sin theta cos theta

Assim,

d u = (sin^2 theta)^' = sin 2 theta d theta

Substituindo na integral:

int (sin 2 theta) e^(sin^2 theta) d theta = int e^(sin^2 theta) sin 2 theta d theta = int e^u d u

Passo 2

Vamos resolver a integral agora:

int e^u d u = e^u

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

e^u = e^(sin^2 theta) + C

Fim!!!

Resposta

e^(sin^2 x) + C

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