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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 3

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ 0 π / 4 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x d x
  2. ∫ - π / 4 0 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

Passo 1

Lembrando do Teorema 7:

∫ a b f g x ∙ g ' x d x = ∫ g a g b f u d u

Assim, faremos uma mudança de variável:

u = tan ⁡ x

Derivando dos dois lados:

d u = sec 2 ⁡ x d x

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

x = 0 → u = tan ⁡ 0 = 0

x = π / 4 → u = tan ⁡ π / 4 = 1

Assim,

∫ 0 π / 4 tan ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = ∫ 0 1 u d u

Calculando a integral:

∫ 0 1 u d u = u 2 2 0 1 = 1 2 2 - 0 2 2 = 1 2

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

x = - π / 4 → u = tan ⁡ - π / 4 = 1

x = 0 → u = tan ⁡ 0 = 0

Assim,

∫ 1 0 u d u = u 2 2 1 0 = 0 2 2 - 1 2 2 = - 1 2

Resposta

  1. 1 / 2
  2. - 1 / 2
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Calcule a integral definida ∫ 1 4x 5 - x3 x ³d x ³
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