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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 8

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ 0 1 10 v 1 + v 3 / 2 2 d v
  2. ∫ 1 4 10 v 1 + v 3 / 2 2 d v

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = 1 + v 3 / 2

Derivando dos dois lados:

d u = 0 + 3 v 2 d v

2 d u 3 = v d v

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

v = 0 → u = 1 + 0 3 = 1

v = 1 → u = 1 + 1 3 = 2

Assim,

∫ 0 1 10 v 1 + v 3 / 2 2 d v = 10 ∫ 0 1 1 1 + v 3 / 2 2 v d v = 10 ∫ 1 2 1 u 2 ∙ 2 d u 3

Calculando a integral:

20 3 ∫ 1 2 d u u 2 = 20 3 u - 1 - 1 1 2 = 20 3 - 1 u 1 2 = 20 3 - 1 2 - - 1 1 = 20 3 - 1 2 + 1 = 10 3

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

v = 1 → u = 1 + 1 3 = 2

v = 4 → u = 1 + 4 3 = 9

Assim,

20 3 ∫ 2 9 d u u 2 = 20 3 - 1 u 2 9 = 20 3 - 1 9 - - 1 2 = 20 3 - 1 9 + 1 2 = 20 3 ∙ 7 18 = 70 27

Resposta

  1. 10 / 3
  2. 70 / 27
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