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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 48

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int 3 x^5 sqrt(x^3 + 1) d x

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável para tentarmos nos livrar desse raiz:

u = x^3 + 1

Derivando dos dois lados:

d u = 3 x^2 d x + 0 = 3 x^2 d x

(d u)/(3) = x^2 d x

Substituindo na integral:

int 3 x^5 sqrt(x^3 + 1) d x = int 3 x^3 sqrt(x^3 + 1) x^2 d x = 3 int x^3 sqrt(u) * (d u)/(3)

Conseguimos substituir o termo (x^3 + 1) e x^2 d x , mas falta substituir o termo x^3 , para isso:

u = x^3 + 1 -> x^3 = u - 1

Passo 2

Substituindo na integral:

3 int x^3 sqrt(u) * (d u)/(3) = int (u - 1) u^(1 // 2) d u

Fazendo o chuveirinho:

int (u - 1) u^(1 // 2) d u = int (u^(3 // 2) - u^(1 // 2)) d u

Vamos resolver a integral agora:

int (u^(3 // 2) - u^(1 // 2)) d u = (u^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1) - (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) = (2)/(5) u^((5)/(2)) - (2)/(3) u^((3)/(2))

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

(2)/(5) u^((5)/(2)) - (2)/(3) u^((3)/(2)) = (2)/(5) (x^3 + 1)^((5)/(2)) - (2)/(3) (x^3 + 1)^((3)/(2)) + C

Fim!!!

Resposta

(2)/(5) (x^3 + 1)^((5)/(2)) - (2)/(3) (x^3 + 1)^((3)/(2)) + C

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