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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 13

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ 0 2 π cos ⁡ z 4 + 3 sin ⁡ z d z
  2. ∫ - π π cos ⁡ z 4 + 3 sin ⁡ z d z

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = 4 + 3 sin ⁡ z

Derivando dos dois lados:

d u = 0 + 3 cos ⁡ z d z

d u 3 = cos ⁡ z d z

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

z = 0 → u = 4 + 3 sin ⁡ 0 = 4

z = 2 π → u = 4 + 3 sin ⁡ 2 π = 4

Assim,

∫ 0 2 π cos ⁡ z 4 + 3 sin ⁡ z d z = ∫ 0 2 π 1 4 + 3 sin ⁡ z cos ⁡ z d z = ∫ 4 4 1 u ∙ d u 3

Calculando a integral:

1 3 ∫ 4 4 d u u = 0

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

z = - π → u = 4 + 3 sin ⁡ - π = 4

z = π → u = 4 + 3 sin ⁡ π = 4

Logo,

1 3 ∫ 4 4 d u u = 0

Resposta

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