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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 14

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

  1. ∫ - π / 2 0 sin ⁡ w 3 + 2 cos ⁡ w 2 d w
  2. ∫ 0 π / 2 sin ⁡ w 3 + 2 cos ⁡ w 2 d w

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = 3 + 2 cos ⁡ w

Derivando dos dois lados:

d u = 0 - 2 sin ⁡ w d w

- d u 2 = sin ⁡ w d w

Além disso, temos que transformar os limites superior e inferior da integral:

w = - π / 2 → u = 3 + 2 cos ⁡ - π 2 = 3

w = 0 → u = 3 + 2 cos ⁡ 0 = 5

Assim,

∫ - π / 2 0 sin ⁡ w 3 + 2 cos ⁡ w 2 d w = ∫ - π / 2 0 1 3 + 2 cos ⁡ w 2 sin ⁡ w d w = - ∫ 3 5 1 u 2 ∙ d u 2

Calculando a integral:

- 1 2 ∫ 3 5 d u u 2 = - 1 2 u - 1 - 1 3 5 = - 1 2 - 1 u 3 5 = - 1 2 - 1 5 - - 1 3 = - 1 2 - 1 5 + 1 3 = - 1 15

Passo 2

Fazendo agora para os outros limites superior e inferior:

w = 0 → u = 3 + 2 cos ⁡ 0 = 5

w = π / 2 → u = 3 + 2 cos ⁡ π 2 = 3

Logo,

- 1 2 ∫ 5 3 d u u 2 = 1 2 ∫ 3 5 d u u 2 = 1 15

Resposta

  1. - 1 / 15
  2. 1 / 15
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