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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 21

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 1 4 y - y 2 + 4 y 3 + 1 - 2 3 12 y 2 - 2 y + 4 d y

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável:

u = 4 y - y 2 + 4 y 3 + 1

Derivando dos dois lados:

d u = 4 - 2 y + 12 y 2 d y

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

y = 0 → u = 4 ∙ 0 - 0 2 + 4 ∙ 0 3 + 1 = 1

y = 1 → u = 4 ∙ 1 - 1 2 + 4 ∙ 1 3 + 1 = 8

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 1 4 y - y 2 + 4 y 3 + 1 - 2 3 12 y 2 - 2 y + 4 d y = ∫ 1 8 u - 2 3 d u

Calculando a integral:

∫ 1 8 u - 2 3 d u = u 1 / 3 1 / 3 1 8 = 3 u 1 / 3 1 8 = 3 u 3 1 8

∫ 1 8 u - 2 3 d u = 3 8 3 - 3 1 3 = 3 ∙ 2 - 3 = 3

Prontinho!!!

Resposta

3

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r) ∫ π 3 π 2 s e n x ( 1 - cos 2 ⁡ x )d x
i) ∫ 0 3 x x + 1 d x
8) Um aluno (precipitado), ao calcular a integral ∫ - 1 1 1 + x 2 d x , raciocinou da seguinte forma: fazendo a mudança de variável u = 1 + x 2 , os novos extremos de integração seriam iguais a 2 ( x
9) Seja f uma função par e contínua em - r , r ,r0 . (Lembre-se fp a r ↔ f - x = f x . ) Mostre que ∫ - r 0 f x d x = ∫ 0 r f x d x Conclua de (a) que ∫ - r r f x d x = 2 ∫ 0 r f x d x . Interprete gr
10) Suponha f continua em [ a ,b ] . Seja c ,d → R com g ' contínua em c , d , g c = aeg ( d ) = b . Suponha , ainda, que g ' u0 em ] c , d [ . Seja c = u 0u 1u 2 , …u n = d uma partição de [ c ,d ] e