Enunciado

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int x (x - 1)^(10) d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer nesse exercício é uma substituição de variável para tentarmos nos livrar desse produto elevado a décima:

u = x - 1

Derivando dos dois lados:

d u = d x + 0 = d x

Substituindo na integral:

int x (x - 1)^(10) d x = int x (u)^(10) d u

Conseguimos substituir o termo (x - 1) e d x , mas falta substituir o termo x , para isso:

u = x - 1 -> x = u + 1

Passo 2

Substituindo na integral:

int x (u)^(10) d u = int (u + 1) u^(10) d u

Fazendo o chuveirinho:

int (u^(11) + u^(10)) d u

Aí é só resolver a integral:

int (u^(11) + u^(10)) d u = (u^(11 + 1))/(11 + 1) + (u^(10 + 1))/(10 + 1) = (u^(12))/(12) + (u^(11))/(11)

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

(u^(12))/(12) + (u^(11))/(11) = ((x - 1)^(12))/(12) + ((x - 1)^(11))/(11) + C

Fim!!!

Resposta

((x - 1)^(12))/(12) + ((x - 1)^(11))/(11) + C

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