Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 π / 4 1 + e tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

θ = 0 → u = tan ⁡ 0 = 0

t = π / 4 → u = tan ⁡ π / 4 = 1

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 π / 4 1 + e tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 1 1 + e u d u

Separando em dois termos:

∫ 0 1 1 + e u d u = ∫ 0 1 d u + ∫ 0 1 e u d u

Calculando a integral:

∫ 0 1 d u + ∫ 0 1 e u d u = u 0 1 + e u 0 1 = 1 - 0 + e 1 - e 0

∫ 0 1 d u + ∫ 0 1 e u d u = 1 + e - 1 = e

Prontinho!!!

Resposta

e

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Se você não souber qual substituição fazer, tente reduzir a integral passo a passo, usando uma primeira substituição para simplificar um pouco a integral e depois outra para simplificar um pouco mais.
Efetue a antidiferenciação:int c o s x (2 + s e n x)^5 d x
Efetue a antidiferenciação:int y c o s e c (3 y^2) c o t g (3 y^2) d y
Efetue a antidiferenciação:int (1)/(2) t c o s 4 t^2 d t
Nos exercícios de 1 a 52, efetue a antidiferenciação. ∫ 4 s e n x d x 1 + cos ⁡ x 2