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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 25

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 π / 4 1 + e tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = sec 2 ⁡ θ d θ

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

θ = 0 → u = tan ⁡ 0 = 0

t = π / 4 → u = tan ⁡ π / 4 = 1

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 π / 4 1 + e tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 0 1 1 + e u d u

Separando em dois termos:

∫ 0 1 1 + e u d u = ∫ 0 1 d u + ∫ 0 1 e u d u

Calculando a integral:

∫ 0 1 d u + ∫ 0 1 e u d u = u 0 1 + e u 0 1 = 1 - 0 + e 1 - e 0

∫ 0 1 d u + ∫ 0 1 e u d u = 1 + e - 1 = e

Prontinho!!!

Resposta

e

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