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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 57

Encontre as integrais nos Exercícios 17-66.

int (d z)/(1 + e^z)

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mexida nessa integral:

int (d z)/(1 + e^z) = int (1 + e^z - e^z)/(1 + e^z) d z = int (- (e^z)/(1 + e^z) + (1 + e^z)/(1 + e^z)) d z = int (- (e^z)/(1 + e^z) + 1) d z

Separando em dois termos:

- int (e^z)/(1 + e^z) d z + int d z

Passo 2

Fazendo uma mudança de variável:

u = e^z

Derivando dos dois lados:

d u = e^z d z

Substituindo na integral:

- int (e^z)/(1 + e^z) d z + int d z = - int (1)/(1 + e^z) e^z d z + int d z = - int (1)/(1 + u) d u + int d z

Passo 3

Fazendo mais uma mudança de variável:

w = 1 + u

Derivando dos dois lados:

d w = d u

Substituindo na integral:

- int (1)/(w) d w + int d z

Calculando a integral:

- ln w + z

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

- ln w + z = - ln (1 + u) + z = - ln (1 + e^z) + z + C

Protinho!!!

Resposta

- ln (1 + e^z) + z + C

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