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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 26

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ π / 4 π / 2 1 + e cot ⁡ θ csc 2 ⁡ θ d θ

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = cot ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = - csc 2 ⁡ θ d θ

- d u = csc 2 ⁡ θ d θ

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

θ = π / 4 → u = cot ⁡ π / 4 = 1

θ = π / 2 → u = cot ⁡ π / 2 = 0

Passo 2

Colocando na integral,

∫ π / 4 π / 2 1 + e cot ⁡ θ csc 2 ⁡ θ d θ = - ∫ 1 0 1 + e u d u

Separando em dois termos:

- ∫ 1 0 1 + e u d u = - ∫ 1 0 d u - ∫ 1 0 e u d u

Calculando a integral:

- ∫ 1 0 d u - ∫ 1 0 e u d u = - u 1 0 - e u 1 0 = - 0 - 1 - e 0 - e 1

- ∫ 1 0 d u - ∫ 1 0 e u d u = 1 - 1 + e = e

Prontinho!!!

Resposta

e

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