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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 27

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 π sin ⁡ t 2 - cos ⁡ t d t

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = 2 - cos ⁡ t

Derivando dos dois lados:

d u = 0 + sin ⁡ t d t

d u = sin ⁡ t d t

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

t = 0 → u = 2 - cos ⁡ 0 = 1

t = π → u = 2 - cos ⁡ π = 3

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 π sin ⁡ t 2 - cos ⁡ t d t = ∫ 0 π 1 2 - cos ⁡ t sin ⁡ t d t = ∫ 1 3 1 u d y

Calculando a integral:

∫ 1 3 1 u d y = ln ⁡ u 1 3 = ln ⁡ 3 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 3

Prontinho!!!

Resposta

ln ⁡ 3

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