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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 28

Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46.

∫ 0 π / 3 4 sin ⁡ θ 1 - 4 cos ⁡ θ d θ

Passo 1

Vamos começar fazendo uma mudança de variável:

u = 1 - 4 cos ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d u = 0 + 4 sin ⁡ θ d θ

d u = 4 sin ⁡ θ d θ

Além disso, vamos transformar os limites superior e inferior da integral para a nova variável:

θ = 0 → u = 1 - 4 cos ⁡ 0 = - 3

θ = π 3 → u = 1 - 4 cos ⁡ π 3 = - 1

Passo 2

Colocando na integral,

∫ 0 π / 3 4 sin ⁡ θ 1 - 4 cos ⁡ θ d θ = ∫ 0 π / 3 1 1 - 4 cos ⁡ θ 4 sin ⁡ θ d θ = ∫ - 3 - 1 1 u d u

Calculando a integral:

∫ - 3 - 1 1 u d u = ln ⁡ u - 3 - 1 = ln ⁡ - 1 - ln ⁡ - 3 = - ln ⁡ 3

Prontinho!!!

Resposta

- ln ⁡ 3

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