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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 47

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int x^3 sqrt(x^2 + 1) d x

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável para tentarmos nos livrar desse raiz:

u = x^2 + 1

Derivando dos dois lados:

d u = 2 x d x + 0 = 2 x d x

(d u)/(2) = x d x

Substituindo na integral:

int x^3 sqrt(x^2 + 1) d x = int x^2 sqrt(x^2 + 1) x d x = int x^2 sqrt(u) * (d u)/(2)

Conseguimos substituir o termo (x^2 + 1) e x d x , mas falta substituir o termo x^2 , para isso:

u = x^2 + 1 -> x^2 = u - 1

Passo 2

Substituindo na integral:

int x^2 sqrt(u) * (d u)/(2) = (1)/(2) int (u - 1) u^(1 // 2) d u

Fazendo o chuveirinho:

(1)/(2) int (u - 1) u^(1 // 2) d u = (1)/(2) int (u^(3 // 2) - u^(1 // 2)) d u

Vamos resolver a integral agora:

(1)/(2) int (u^(3 // 2) - u^(1 // 2)) d u = (1)/(2) ((u^((3)/(2) + 1))/((3)/(2) + 1) - (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1)) = (1)/(5) u^(5 // 2) - (1)/(3) u^(3 // 2)

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

(1)/(5) u^(5 // 2) - (1)/(3) u^(3 // 2) = (1)/(5) (x^2 + 1)^(5 // 2) - (1)/(3) (x^2 + 1)^(3 // 2) + C

Fim!!!

Resposta

(1)/(5) (x^2 + 1)^(5 // 2) - (1)/(3) (x^2 + 1)^(3 // 2) + C

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