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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 35

Calcule a integral definida

int_1^8 (x^((1)/(3)))/(x^((4)/(3)) + 4) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

int a^x d x = (a^x)/(ln a)

Propriedade da exponencial

a^b = e^(b ln (a))

(dica : Pense na integral como uma anti-derivada. )

Passo 2

Fazendo substituição u = x^((4)/(3)) + 4

du = (4)/(3) x^((1)/(3)) d x

int_1^8 (x^((1)/(3)))/(x^((4)/(3)) + 4) d x = int_()^() (3)/(4) . (1)/(u) d u

=3/4 ln u

= ((3)/(4) ln ( x^((4)/(3)) + 4 )|_(x = 1)^8

Aplicando os limites de integração à nossa função :

= (3)/(4) [(8^((4)/(3)) + 4) - (1 + 4)]

= (3)/(4) (l n 20 - ln 5)

Resposta

int_1^8 (x^((1)/(3)))/(x^((4)/(3)) + 4) d x = (3)/(4) (l n 20 - ln 5)

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