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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 37

Calcule a integral definida

int_0^(l n 2) (e^(2 x))/(e^x - 5) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

int a^x d x = (a^x)/(ln a)

Propriedade da exponencial

a^b = e^(b ln (a))

(dica : Pense na integral como uma anti-derivada. )

Passo 2

Fazendo por substituição

U = e^x - 5

du = e^x d x

Logo nossa integral fica

int_0^(l n 2) (e^(2 x))/(e^x - 5) d x = int_0^(l n 2) (e^x)/(e^x - 5) ( e^x d x ) = int_()^() (u + 5)/(u) d u

Separando a integral em 2

int_()^() (u + 5)/(u) d u = int_()^() 1 d u + int_()^() (5)/(u) d u

= u + 5lnu

= (( e^x - 5 )|_(x = 0)^(ln 2) + (5 l n ( e^x - 5 )|_(x = 0)^(ln 2)

Passo 3

Aplicando os limites de integração à nossa função :

= (2 -5) –(1-5) + 5 (ln (2 -5) – ln (1-5))

Simplificando a nossa expressão

1 + 5 ln ((3)/(4))

Resposta

int_0^(l n 2) (e^(2 x))/(e^x - 5) d x = 1 + 5 ln ((3)/(4))

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