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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 69

Calcule a integral em termos de:

  1. funções hiperbólicas inversas.
  2. logaritmos naturais.

∫ 5 4 2   d x 1 - x 2

Passo 1

  1. Sabendo que a função da forma 1 1 - u 2 com u > 1   é a derivada da função de c o t g h - 1 u , temos que: ∫ 5 4 2   d x 1 - x 2 = c o t g h - 1 x ] 2 5 4

Aplicamos agora os limites de integração e...

c o t g h - 1 x ] 2 5 4 = c o t g h - 1 2 - c o t g h - 1 5 4

Passo 2

  1. Agora, tendo o valor de x = 2 e x = 5 4 para encontrarmos o valor em termos de logaritmos naturais, basta aplicarmos a fórmula encontrada na tabela da página 430 (exercícios anteriores)...

c o t g h - 1 2 = 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 - 1 = 1 2 ln ⁡ 3

c o t g h - 1 5 4 = 1 2 ln ⁡ 5 4 + 1 5 4 - 1 = 1 2 ln ⁡ 9 4 1 4 = 1 2 ln ⁡ 9   = 1 2 ln ⁡ 3 2 = ln ⁡ 3

Então: c o t g h - 1 2 - c o t g h - 1 5 4 = ln ⁡ 3 2 - ln ⁡ 3 =  

Resposta

  1. c o t g h - 1 2 - c o t g h - 1 5 4
  2. ln ⁡ 3 2 - ln ⁡ 3
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