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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.5 - Ex. 12

Calcule a integral indefinida.

∫ sec 2 ⁡ 2 θ d θ

Passo 1

Fala aí, galerinha!

Nesse problema temos que calcular a integral:

∫ sec 2 ⁡ 2 θ d θ

Tem ideia de como fazemos isso?

Podemos imaginar que calcular essa integral na forma como está vai ser extremamente dificil.

Então para facilitar nossa vida podemos aplicar o método da substituição:

∫ f x d x → ∫ g u d u

Pra isso, podemos seguir um scriptzinho:

  • Substituir parte da função f x por u .
  • Derivar u em relação a x para obter d u / d x e isolar d x em um lado da igualdade.
  • Substituir u e d x na integral.
  • Calcular a integral em relação a u .
  • Voltar o resultado para x substituindo u de volta para x .

Lembrando que encontrar a substituição correta depende da nossa sagacidade em conseguir visualizar como podemos simplificar a integral... então quanto mais questões fizermos, melhor vai ser.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Nossa função de integração é dada por:

f θ = sec 2 ⁡ 2 θ

Então podemos substituir a função dentro de s e c ² por u .

u = 2 θ

Derivando em relação a θ pela regra da potência e isolando d θ em um lado da igualdade:

d u d θ = 2 → d θ = 1 2 d u

Substituindo u e d θ na integral...

∫ sec 2 ⁡ 2 θ d θ → ∫ sec 2 ⁡ u 1 2 d u

1 2 ∫ sec 2 ⁡ u d u

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora essa integral ficou muito mais simples, não é?

Para resolvê-la, basta lembrarmos do Teorema Fundamental do Cálculo.

∫ a sec 2 ⁡ x d x = a tan ⁡ x + C

Ou seja:

1 2 ∫ sec 2 ⁡ u d u = 1 2 tan ⁡ u + C

Por fim, vamos voltar para θ , então fazemos o processo inverso da substituição...

∫ sec 2 ⁡ 2 θ d θ = 1 2 tan ⁡ 2 θ + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

∫ sec 2 ⁡ 2 θ d θ = 1 2 tan ⁡ 2 θ + C

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