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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.5 - Ex. 24

Calcule a integral.

int_0^4 (6 z + 5)/(2 z + 1) d z

Passo 1

Para a resolução dessa questão, vamos facilitar a nossa vida né? Pensa aí no que podemos fazer...

Pensou? Parece que não tem nada né, não dá pra aplicar nenhum método ou achar uma integral pronta ... Mas é claro! Por que tá implícito, algumas coisas são invisíveis aos nossos olhos hehe

Olha só, vamos reorganizar os termos, dá pra fazer com que o denominador apareça no numerador, assim:

int_0^4 (6 z + 2 + 3)/(2 z + 1) d z

int_0^4 (( 6 z + 3 ) + 2)/(2 z + 1) d z

Te liga aí nessa mágica agora!!

int_0^4 (3 (2 z + 1) + 2)/(2 z + 1) d z

Tcharãmm!!! Agora separamos os termos:

int_0^4 (3 (2 z + 1))/(2 z + 1) + (2)/(2 z + 1) d z

Eliminamos o 2 z + 1 na primeira divisão,

int_0^4 3 + (2)/(2 z + 1) d z

Agora é só integrar!!

Passo 2

Para a segunda divisão com (2)/(2 z + 1) , aplicaremos o método da substituição. Chamamos u = 2 z + 1 e d u = 2 d z . Temos:

int_0^4 3 d z + int_0^4 (2)/(2 z + 1) d z

int_0^4 3 d z + int_0^4 (1)/(u) d u

Sabendo que int (1)/(u) d u = ln u :

int_0^4 3 d z + [ln ( 2 z + 1 )]_0^4

int_0^4 3 + (2)/(2 z + 1) d z = [3 z + ln (2 z + 1)]_0^4

= 3 xx 4 + ln (2 ( 4 ) + 1) - [3 xx 0 + ln (2 (0) + 1)]

int_0^4 (6 z + 5)/(2 z + 1) d z = 12 + 2 ln 3

Resposta

int_0^4 (6 z + 5)/(2 z + 1) d z = 12 + 2 ln 3

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