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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.2 - Ex. 14

Questão: 14

Calcule a integral indefinida.

int s e n ² 2 t . c o s^4 2 t d t

Passo 1

Usando a identidade s e n ² t = (1 - cos 2 t)/(2) e c o s ² t = (1 + cos 2 t)/(2) , temos;

int ((1 - cos 2 t)/(2)) ( (1 + cos 2 t)/(2) ) ² d t = (1)/(4) int ( 1 - cos 2 t ) ( 1 + 2 cos 2 t + c o s ² 2 t ) d t

= (1)/(4) int ( 1 + 2 . cos 2 t + c o s ² 2 t - cos 2 t - 2 . c o s^2 2 t - c o s ³ 2 t ) d t

= (1)/(4) int ( 1 + cos 2 t - c o s^2 2 t - c o s ³ 2 t ) d t

= (1)/(4) int 1 d t + (1)/(4) int cos 2 t d t - (1)/(4) int c o s ² 2 t d t - (1)/(4) int c o s ³ 2 t d t

= (t)/(4) + (1)/(8) s e n 2 t - (1)/(8) int 1 + cos 2 t d t - (1)/(4) int c o s ² 2 t . c o s 2 t d t

= (t)/(4) + (s e n 2 t)/(8) - (t)/(8) - (s e n 2 t)/(16) - (1)/(4) int c o s ² 2 t . cos 2 t d t ,

Passo 2

Para responder a ultima integral usamos: u = s e n 2 t , d u = 2 cos 2 t ,

substituindo;

int (1 - s e n^2 2 t) cos 2 t d t

int (1 - u^2) d u = (u)/(2) - (u^3)/(6)

Voltando para a equação principal.

(s e n 2 t)/(2) - (s e n ³ 2 t)/(3)

int s e n ² 2 t . c o s^4 2 t d t = (t)/(8) + (s e n 2 t)/(16) - (2 s e n 2 t)/(8) + (s e n ³ 2 t)/(24)

int s e n ² 2 t . c o s^4 2 t d t = (t)/(8) - (s e n 2 t)/(16) + (s e n^3 2 t)/(24) + c .

Resposta

int s e n ² 2 t . c o s^4 2 t d t = (t)/(8) - (s e n 2 t)/(16) + (s e n^3 2 t)/(24) + c .

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