Questão: 14

Calcule a integral indefinida.

∫ s e n ² 2 t . c o s 4 2 t   d t

Passo 1

Usando a identidade s e n ² t =   1 - cos ⁡ 2 t 2 e c o s ² t = 1 + cos ⁡ 2 t 2     , temos;

∫ 1 - cos ⁡ 2 t 2 ( 1 + cos ⁡ 2 t 2 ) ²   d t   =   1 4   ∫ ( 1 - cos ⁡ 2 t ) ( 1 + 2 cos ⁡ 2 t + c o s ² 2 t )   d t

= 1 4   ∫ ( 1 + 2 . cos ⁡ 2 t + c o s ² 2 t - cos ⁡ 2 t - 2 . c o s 2 2 t - c o s ³ 2 t )   d t

= 1 4 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 t - c o s 2 2 t - c o s ³ 2 t )   d t

= 1 4   ∫ 1 d t + 1 4 ∫ cos ⁡ 2 t   d t - 1 4 ∫ c o s ² 2 t   d t - 1 4 ∫ c o s ³ 2 t   d t

= t 4 + 1 8 s e n   2 t - 1 8 ∫ 1 + cos ⁡ 2 t d t - 1 4 ∫ c o s ² 2 t . c o s 2 t   d t

= t 4 + s e n   2 t 8 - t 8 - s e n   2 t 16 - 1 4 ∫ c o s ² 2 t . cos ⁡ 2 t   d t ,

Passo 2

Para responder a ultima integral usamos: u = s e n   2 t         ,     d u = 2 cos ⁡ 2 t ,

substituindo;

∫ 1 - s e n 2 2 t cos ⁡ 2 t   d t

∫ 1 - u 2 d u = u 2 - u 3 6

Voltando para a equação principal.

s e n 2 t 2 - s e n ³ 2 t 3

∫ s e n ² 2 t . c o s 4 2 t   d t = t 8 + s e n   2 t 16 - 2 s e n   2 t 8 + s e n ³ 2 t 24

∫ s e n ² 2 t . c o s 4 2 t   d t = t 8 - s e n   2 t 16 + s e n 3 2 t 24 + c .

Resposta

∫ s e n ² 2 t . c o s 4 2 t   d t = t 8 - s e n   2 t 16 + s e n 3 2 t 24 + c .

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