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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 47

Calcule as integrais nos Exercícios 33-50

47

int t g^5 x d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando substituições trigonométricas.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte forma

int t g^5 x d x = int t g^4 x t g x d x

Vamos lembrar um pouco de trigonometria para facilitar essa integral

c o s^2 x + s e n^2 x = 1

Agora a gente divide tudo por c o s^2 x

1 + t g^2 x = s e c^2 x

O que nos leva

t g^2 x = s e c^2 x - 1

Então teremos o seguinte

int ( s e c^2 x - 1 )^2 t g x d x

Expandindo

int ( s e c^4 x - 2 s e c^2 + 1 ) t g x d x

Agora a gente pode distribui a tangente de x dentro dos parênteses

int ( s e c^4 x * t g x - 2 s e c^2 x * t g x + t g x ) d x

Passo 3

Vamos analisar a primeira integral

int (s e c^4 x * t g x) d x

Temos que t g x = (s e n ( x ))/(c o s ( x ))

Então

int (s e c^4 x * (s e n ( x ))/(c o s ( x ))) d x = int (s e c^5 x * s e n ( x )) d x

Agora temos uma composição de funções dentro da integral, podemos agora usar uma integral por partes

int u * d v = u * v - int v d u

Onde

u = s e c^5 x d v = s e n ( x )

E por tanto

d u = 5 s e c^5 x * t g x d x v = - c o s ( x )

Então

int (s e c^5 x * s e n (x)) d x = - s e c^5 x * c o s x - int - c o s x * 5 s e c^5 x * t g x d x

Repare que sec (x) = (1)/(c o s x)

E de novo t g x = (s e n ( x ))/(c o s ( x ))

Então podemos reescrever da seguinte forma

int (s e c^5 x * s e n (x)) d x = - s e c^4 x + int 5 ( s e c^5 x * s e n ( x ) ) d x

O macete está nessa passagem, repare que podemos subtrair 5 int ( s e c^5 x * s e n ( x ) ) d x da equação

- 4 int (s e c^5 x * s e n (x)) d x = - s e c^4 x

E agora a gente vai chegar no resultado dessa integral

int (s e c^5 x * s e n (x)) d x = (s e c^4 x)/(4) + C_1

Passo 4

Agora vamos analisar a segunda integral

int (- 2 s e c^2 x * t g x) d x

Já vamos começar tirando a constante da integral

- 2 int (s e c^2 x * t g x) d x

De novo

t g x = (s e n ( x ))/(c o s ( x )) e sec (x) = (1)/(c o s x)

Então

- 2 int (s e c^2 x * t g x) d x = - 2 int (s e c^3 x * s e n x) d x

Vamos calcular o valor de

int (s e c^3 x * s e n x) d x

Numa estratégia muito parecida com a integral anterior, podemos fazer a integral por partes

u = s e c^3 x d v = s e n ( x )

E por tanto

d u = 3 s e c^3 x * t g x d x v = - c o s ( x )

int (s e c^3 x * s e n (x)) d x = - s e c^2 x + int 3 ( s e c^3 x * s e n ( x ) ) d x

- 2 int (s e c^3 x * s e n (x)) d x = - s e c^2 x

E agora a gente vai chegar no resultado dessa integral

int (s e c^3 x * s e n (x)) d x = (s e c^2 x)/(2) + C_2

Quando a gente multiplica pelo -2

- s e c^4 x

Passo 5

Agora vamos analisar a última integral

int (t g x) d x

Essa é um pouco mais simples.

A gente sabe que

t g x = (s e n ( x ))/(c o s ( x ))

Isso ainda não mudou.

Agora a gente pode fazer uma substituição de variável

u = cos (x) d u = - s e n ( x )

int - (1)/(u) d u = - l n | u |

= - l n | c o s ( x ) | + C_3

Passo 6

Agora a gente soma todas essas integrais

int ( s e c^4 x * t g x - 2 s e c^2 x * t g x + t g x ) d x = (s e c^4 x)/(4) - s e c^2 x - l n | c o s ( x ) | + C_4

Esse já é o resultado, mas se você quiser enfeitar mais

Troque o sinal de l n

(s e c^4 x)/(4) - s e c^2 x + l n | s e c ( x ) | + C_4

E usamos também que

sec (x) = t g^2 x + 1

Isso vai nos dar

(1)/(4) t g^4 x + (1)/(2) t g^2 + l n | s e c ( x ) | + C_4

Resposta

(1)/(4) t g^4 x + (1)/(2) t g^2 + l n | s e c ( x ) | + C_4

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