Calcule as integrais nos Exercícios 33-50

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∫ t g 5 x   d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando substituições trigonométricas.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte forma

∫ t g 5 x   d x = ∫ t g 4 x   t g x   d x

Vamos lembrar um pouco de trigonometria para facilitar essa integral

c o s 2 x + s e n 2 x = 1

Agora a gente divide tudo por c o s 2 x

1 + t g 2 x = s e c 2 x

O que nos leva

t g 2 x = s e c 2 x - 1

Então teremos o seguinte

∫ ( s e c 2 x - 1 ) 2   t g x   d x

Expandindo

∫ ( s e c 4 x - 2 s e c 2 + 1 )   t g x   d x

Agora a gente pode distribui a tangente de x dentro dos parênteses

∫ ( s e c 4 x * t g x - 2 s e c 2 x * t g x + t g x )     d x

Passo 3

Vamos analisar a primeira integral

∫ s e c 4 x ⋅ t g x d x

Temos que t g x = s e n ( x ) c o s ⁡ ( x )

Então

∫ s e c 4 x ⋅ s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) d x =   ∫ s e c 5 x ⋅ s e n ( x ) d x

Agora temos uma composição de funções dentro da integral, podemos agora usar uma integral por partes

∫ u ⋅ d v = u ⋅ v - ∫ v d u

Onde

u = s e c 5 x d v = s e n ( x )

E por tanto

d u = 5 s e c 5 x * t g x   d x v = - c o s ⁡ ( x )

Então

∫ s e c 5 x ⋅ s e n x d x =   - s e c 5 x * c o s x - ∫ - c o s x ⋅ 5 s e c 5 x ⋅ t g x d x

Repare que sec ⁡ x = 1 c o s x

E de novo t g x = s e n ( x ) c o s ⁡ ( x )

Então podemos reescrever da seguinte forma

∫ s e c 5 x ⋅ s e n x d x =   - s e c 4 x + ∫ 5 ( s e c 5 x ⋅ s e n ( x ) ) d x

O macete está nessa passagem, repare que podemos subtrair 5 ∫ ( s e c 5 x ⋅ s e n ( x ) ) d x da equação

- 4 ∫ s e c 5 x ⋅ s e n x d x =   - s e c 4 x

E agora a gente vai chegar no resultado dessa integral

∫ s e c 5 x ⋅ s e n x d x =   s e c 4 x 4 +   C 1

Passo 4

Agora vamos analisar a segunda integral

∫ - 2 s e c 2 x ⋅ t g x   d x

Já vamos começar tirando a constante da integral

- 2 ∫ s e c 2 x ⋅ t g x   d x

De novo

t g x = s e n ( x ) c o s ⁡ ( x ) e sec ⁡ x = 1 c o s x

Então

- 2 ∫ s e c 2 x ⋅ t g x   d x =   - 2 ∫ s e c 3 x ⋅ s e n x   d x

Vamos calcular o valor de

∫ s e c 3 x ⋅ s e n x   d x

Numa estratégia muito parecida com a integral anterior, podemos fazer a integral por partes

u = s e c 3 x d v = s e n ( x )

E por tanto

d u = 3 s e c 3 x ⋅ t g x   d x v = - c o s ⁡ ( x )

∫ s e c 3 x ⋅ s e n x d x =   - s e c 2 x + ∫ 3 ( s e c 3 x ⋅ s e n ( x ) ) d x

- 2 ∫ s e c 3 x ⋅ s e n x d x =   - s e c 2 x

E agora a gente vai chegar no resultado dessa integral

∫ s e c 3 x ⋅ s e n x d x =   s e c 2 x 2 + C 2

Quando a gente multiplica pelo -2

- s e c 4 x

Passo 5

Agora vamos analisar a última integral

∫ t g x   d x

Essa é um pouco mais simples.

A gente sabe que

t g x = s e n ( x ) c o s ⁡ ( x )

Isso ainda não mudou.

Agora a gente pode fazer uma substituição de variável

u = cos ⁡ x d u = - s e n ( x )

∫ - 1 u d u = - l n ⁡ | u   |

= - l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | + C 3

Passo 6

Agora a gente soma todas essas integrais

∫ ( s e c 4 x ⋅ t g x - 2 s e c 2 x ⋅ t g x + t g x )     d x =     s e c 4 x 4 - s e c 2 x     - l n ⁡ | c o s ⁡ ( x ) | + C 4

Esse já é o resultado, mas se você quiser enfeitar mais

Troque o sinal de l n

s e c 4 x 4 - s e c 2 x + l n ⁡ | s e c ⁡ ( x ) | + C 4

E usamos também que

sec ⁡ x = t g 2 x + 1

Isso vai nos dar

1 4 t g 4 x + 1 2 t g 2 + l n ⁡ | s e c ⁡ ( x ) | + C 4

Resposta

1 4 t g 4 x + 1 2 t g 2 + l n ⁡ | s e c ⁡ ( x ) | + C 4

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