Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 47
Calcule as integrais nos Exercícios 33-50
47
Passo 1
O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando substituições trigonométricas.
Passo 2
Podemos reescrever a integral da seguinte forma
Vamos lembrar um pouco de trigonometria para facilitar essa integral
1
Agora a gente divide tudo por
O que nos leva
Então teremos o seguinte
Expandindo
Agora a gente pode distribui a tangente de x dentro dos parênteses
Passo 3
Vamos analisar a primeira integral
Temos que
Então
Agora temos uma composição de funções dentro da integral, podemos agora usar uma integral por partes
Onde
E por tanto
Então
Repare que
E de novo
Então podemos reescrever da seguinte forma
O macete está nessa passagem, repare que podemos subtrair da equação
E agora a gente vai chegar no resultado dessa integral
Passo 4
Agora vamos analisar a segunda integral
Já vamos começar tirando a constante da integral
De novo
e
Então
Vamos calcular o valor de
Numa estratégia muito parecida com a integral anterior, podemos fazer a integral por partes
E por tanto
E agora a gente vai chegar no resultado dessa integral
Quando a gente multiplica pelo -2
Passo 5
Agora vamos analisar a última integral
Essa é um pouco mais simples.
A gente sabe que
Isso ainda não mudou.
Agora a gente pode fazer uma substituição de variável
Passo 6
Agora a gente soma todas essas integrais
Esse já é o resultado, mas se você quiser enfeitar mais
Troque o sinal de
E usamos também que
Isso vai nos dar