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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 50

Calcule as integrais nos Exercícios 33-50

50

int 8 c o t g^4 t d t

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular a integral indefinida usando substituições trigonométricas.

Lembrando que c o t g (x) = (1)/(t g (x)) = (c o s ( x ))/(s e n ( x ))

Passo 2

Vamos lembrar um pouco de trigonometria para facilitar essa integral

c o t g^2 t = c s c^2 t - 1

Podemos reescrever a integral da seguinte forma

int 8 c o t g^4 t d t = 8 int ( c s c^2 t - 1 ) c o t g^2 t d t

Distribuindo c o t g^2 t

8 int ( c s c^2 t * c o t g^2 t - c o t g^2 t ) d t

Agora a gente pode escrever como a soma de duas integrais

8 int (c s c^2 t * c o t g^2 t) d t - 8 int ( c o t g^2 t ) d t

Passo 3

Vamos analisar a primeira integral

8 int (c s c^2 t * c o t g^2 t) d t

Vamos fazer a segunda substituição

c o t g (u) = v - c s c^2 (u) d u = d v

Aí ficamos com

- 8 int v^2 d v

Agora essa integral é mais simples de resolver

- 8 int v^2 d v = - 8 (v^3)/(3) = - 8 (c o t g^3 (t))/(3) + C_1

Passo 4

Agora vamos analisar a segunda integral

8 int ( c o t g^2 t ) d t

A gente pode escrever essa integral da seguinte forma

8 int ( c o t g^2 t ) d t = 8 int ( c s c^2 t - 1 )

E a gente novamente separa em duas integrais

8 int ( c s c^2 t ) d t - 8 int d t^()

Passo 5

Agora vamos resolver a integral

8 int c s c^2 t d t

Nos vimos no passo 3 que quando derivamos c o t g ( t ) obtemos c s c^2 ( t ) Então vale dizer que

8 int c s c^2 ( t ) d t = - 8 c o t g ( t ) + C_2

Passo 6

Só falta a última integral agora, e ela é bem simples

8 int d t = 8 t + C_3

Passo 7

Já temos os valores de todas integrais agora é só somar tudo

- 8 (c o t g^3 (t))/(3) + - 8 c o t g ( t ) + 8 t + C_4

Resposta

- 8 (c o t g^3 (t))/(3) + - 8 c o t g ( t ) + 8 t + C_4

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