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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 110

Calcule as integrais dos Exercícios 69-116. As integrais estão listadas de maneira aleatória.

∫ ln ⁡ x ln ⁡ x 1 x + ln ⁡ ln ⁡ x x d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável:

u = ln ⁡ x ln ⁡ x

Aplicando logaritmo dos dois lados:

ln ⁡ u = ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x

Lembrando das propriedades do logaritmo:

ln ⁡ 2 2 = 2 ln ⁡ 2

Assim,

ln ⁡ u = ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x

ln ⁡ u = ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x

Passo 2

Derivando dos dois lados:

d u u = ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x '

Lembrando da regra da derivada do produto:

f ∙ g ' = f ' g + f g '

Assim,

d u u = ln ⁡ x ' ln ⁡ ln ⁡ x + ln ⁡ x ln ⁡ ln ⁡ x ' d x

d u u = ln ⁡ ln ⁡ x x + ln ⁡ x ln ⁡ x ln ⁡ x ' d x

d u u = ln ⁡ ln ⁡ x x + 1 x   d x

Passo 3

Colocando na integral:

∫ ln ⁡ x ln ⁡ x 1 x + ln ⁡ ln ⁡ x x d x = ∫ u d u u

Calculando a integral:

∫ d u = u + C

Revertendo para a variável original:

u + C = ln ⁡ x ln ⁡ x + C

Pronto!!!

Resposta

ln ⁡ x ln ⁡ x + C

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