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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 115

Calcule a integral:

int (sin^2 x)/(1 + sin^2 x) d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração e estratégias para resolver a integral. Então vamos resolver da seguinte maneira:

int (sin^2 x)/(1 + sin^2 x) d x

Vamos dividir tudo por cos^2 x , assim algumas identidades trigonométricas começarão a surgir para facilitar nossos cálculos, beleza? Então vamos começar!

int (sin^2 x)/(1 + sin^2 x) d x = int ((sin^2 x)/(cos^2 x))/((1)/(cos^2 x) + (sin^2 x)/(cos^2 x)) d x = int (tan^2 x)/(sec^2 x + tan^2 x) d x

= int (tan^2 x + sec^2 x - sec^2 x)/(sec^2 x + tan^2 x) d x

= int (tan^2 x + sec^2 x)/(sec^2 x + tan^2 x) d x - int (sec^2 x)/(sec^2 x + tan^2 x) d x

Aqui, devemos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

1 + tan^2 x = sec^2 x

int d x - int (sec^2 x)/(( 1 + tan^2 x ) + tan^2 x) d x

int d x - int (sec^2 x)/(( 1 + 2 tan^2 x )) d x

x - (1)/(sqrt(2)) tan^(- 1) ( sqrt(2) tan x ) + C

Resposta

int (sin^2 x)/(1 + sin^2 x) d x = x - (1)/(sqrt(2)) tan^(- 1) ( sqrt(2) tan x ) + C

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