Calcule a integral:

∫ sin 2 ⁡ x 1 + sin 2 ⁡ x   d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração e estratégias para resolver a integral. Então vamos resolver da seguinte maneira:

∫ sin 2 ⁡ x 1 + sin 2 ⁡ x   d x

Vamos dividir tudo por cos 2 ⁡ x , assim algumas identidades trigonométricas começarão a surgir para facilitar nossos cálculos, beleza? Então vamos começar!

∫ sin 2 ⁡ x 1 + sin 2 ⁡ x   d x =   ∫ sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x   1 cos 2 ⁡ x +   sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x   d x = ∫ tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x + tan 2 ⁡ x   d x

= ∫ tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x - sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x + tan 2 ⁡ x   d x

= ∫ tan 2 ⁡ x + sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x + tan 2 ⁡ x   d x -   ∫ sec 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x + tan 2 ⁡ x d x

Aqui, devemos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

1 + tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

∫ d x - ∫ sec 2 ⁡ x ( 1 + tan 2 ⁡ x ) + tan 2 ⁡ x   d x

∫ d x - ∫ sec 2 ⁡ x ( 1 + 2 tan 2 ⁡ x )   d x

x - 1 2 tan - 1 ⁡ ( 2 tan ⁡ x ) + C

Resposta

∫ sin 2 ⁡ x 1 + sin 2 ⁡ x   d x =   x - 1 2 tan - 1 ⁡ ( 2 tan ⁡ x ) + C

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