Calcule a integral:

∫ 1 - cos ⁡ x   1 + cos ⁡ x     d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração e estratégias para resolver a integral. Então vamos resolver da seguinte maneira:

∫ 1 - cos ⁡ x   1 + cos ⁡ x     d x =   ∫ 1 - cos ⁡ x 2 1 - cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 - 2 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x   d x

=   ∫ 1 sin 2 ⁡ x d x - ∫ 2 cos ⁡ x   sin 2 ⁡ x +   ∫ cos 2 ⁡ x sin 2 ⁡ x d x

= ∫ c s c 2 x   d x - 2 ∫ c s c   x   c o t a n   x   d x +   ∫ cot 2 ⁡ x   d x

= - cot ⁡ x + 2   csc ⁡ x + ∫ ( csc 2 ⁡ x - 1 ) d x

=   -   cot ⁡ x + 2   csc ⁡ x - x + C

Resposta

∫ 1 - cos ⁡ x   1 + cos ⁡ x     d x =   -   cot ⁡ x + 2   csc ⁡ x - x + C

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