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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 113

  1. Mostre que int_0^a f (x) d x = int_0^a f (a - x) d x
  2. Use o item a para calcular

int_0^((pi)/(2)) (sin x)/(sin x + cos x) d x

Passo 1

Galera, o enunciado pede primeiro para realizar a demonstração e seguida usar a regra para calcular a integração solicitada. Então vamos lá:

int_0^a f (a - x) d x

Aqui vamos usar a regra da substituição. Então vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

Considere u = a - x

Vamos achar o diferencial de u , derivando:

d u = - d x

Quando x = 0 -> u = a e quando x = a -> u = 0 . Assim, temos:

- int_a^0 f (u) d u = int_0^a f (u) d u

Que é o mesmo que a integral de int_0^a f (x) d x

Passo 2

Agora que já realizamos a demonstração. Vamos resolver o item b. Usando o que foi demonstrado no item a. Beleza??

int_0^((pi)/(2)) (sin x)/(sin x + cos x) d x = int_0^((pi)/(2)) (sin ( (pi)/(2) - x ))/(sin ((pi)/(2) - x) + cos ((pi)/(2) - x)) d x = int_0^((pi)/(2)) (sin ((pi)/(2)) cos x - cos ((pi)/(2)) sin x)/(sin ((pi)/(2) - x) - cos ((pi)/(2)) sin x + cos ((pi)/(2)) cos x + sin ((pi)/(2)) sin x) d x

= int_0^((pi)/(2)) (cos x)/(cos x + sin x) d x -> 2 int_0^((pi)/(2)) (sin x)/(sin x + cos x)

= int_0^((pi)/(2)) (sin x)/(sin x + cos x) d x + int_0^((pi)/(2)) (cos x)/(cos x + sin x) d x

= int_0^((pi)/(2)) (sin x + cos x)/(sin x + cos x) d x = int_0^((pi)/(2)) d x

= x |= (pi)/(2) -> 2 int_0^((pi)/(2)) (sin x)/(sin x + cos x) d x)

= (pi)/(2) -> int_0^((pi)/(2)) (sin x)/(sin x + cos x) d x

= (pi)/(4)

Resposta

(pi)/(4)

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