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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 111

Calcule as integrais dos Exercícios 69-116. As integrais estão listadas de maneira aleatória.

∫ 1 x 1 - x 4 d x

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é uma mudança de variável:

x 2 = sin ⁡ θ

x = sin ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

2 x d x = cos ⁡ θ d θ

d x = cos ⁡ θ d θ 2 x

Colocando na integral:

∫ 1 x 1 - x 4 d x = ∫ 1 sin ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ 2 x = 1 2 ∫ 1 sin ⁡ θ 1 - sin 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ sin ⁡ θ

Passo 2

Lembrando da relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ

Assim,

1 2 ∫ cos ⁡ θ d θ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 2 ∫ cos ⁡ θ d θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 2 ∫ d θ sin ⁡ θ = 1 2 ∫ csc ⁡ θ d θ

Passo 3

Vamos agora multiplicar em cima e embaixo por csc ⁡ θ + cot ⁡ θ :

1 2 ∫ csc ⁡ θ d θ ∙ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ = 1 2 ∫ csc 2 ⁡ θ + csc ⁡ θ cot ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ d θ

Agora, precisamos fazer mais uma mudança de variável:

w = csc ⁡ θ + cot ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d w = - csc ⁡ θ cot ⁡ θ - csc 2 ⁡ θ d θ

- d w = csc ⁡ θ cot ⁡ θ + csc 2 ⁡ θ d θ

Passo 4

Colocando na integral:

1 2 ∫ csc 2 ⁡ θ + csc ⁡ θ cot ⁡ θ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ d θ = 1 2 ∫ - d w w = - 1 2 ∫ d w w

Calculando a integral:

- 1 2 ∫ d w w = - 1 2 ln ⁡ w + C

Revertendo para a variável original:

- 1 2 ln ⁡ w + C = - 1 2 ln ⁡ csc ⁡ θ + cot ⁡ θ + C = - 1 2 ln ⁡ csc ⁡ arcsin ⁡ x 2 + cot ⁡ arcsin ⁡ x 2 + C

- 1 2 ln ⁡ 1 x 2 + 1 - x 4 x 2 + C = - 1 2 ln ⁡ 1 + 1 - x 4 x 2 + C

Pronto!!!

Resposta

- 1 2 ln ⁡ 1 + 1 - x 4 x 2 + C

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