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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 40

Nos Exercícios 37-40, encontre o valor médio de F(x, y, z) sobre a

região determinada

F(x, y, z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante, delimitado

pelos planos coordenados e os planos x = 2, y = 2 e z = 2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta solução temos a integral tripla abaixo, que fornece o valor médio sobre a região pedida:

1 8 ∫ 0 2   ∫ 0 2   ∫ 0 2   x y z d z d y d x

Resolvendo a integral acima teremos o valor médio desejado. Vamos lá?

Passo 2

Primeiramente integrando em z :

1 8 ∫ 0 2     ∫ 0 2     x y z 2 2 0 2 d y d x 1 4 ∫ 0 2     ∫ 0 2     [ x y ] d y d x

Passo 3

Agora integrando em y :

1 4 ∫ 0 2     x y 2 2 0 2 d x 1 2 ∫ 0 2     x d x

Passo 4

E finalmente integrando em x , teremos:

1 2 x 2 2 0 2 = 1

Resposta

Resposta nos passos.

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