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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 15.5 - Ex. 36

Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.

A região delimitada atrás pelo plano x = 0, na frente e nos

lados pelo cilindro parabólico x = 1 – y2, no topo pelo paraboloide z = x2 + y2 e no fundo pelo plano xy.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Você chegou ao último exercício sobre volumes! Neste caso vamos determinar o volume da região limitada atrás pelo plano x = 0 e na frente pelo cilindro parabólico x = 1 - y 2 , no topo pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e abaixo pelo plano x y .

Passo 2

O calculo do volume é dado por: V = 2 ∫ 0 11 - y 2 x 2 + y 2     ∫ 0 1     d z d x d y = 2 ∫ 0 11 - y 2     ∫ 0 2     x 2 + y 2 d x d y V = 2 ∫ 0 1     x 3 3 + y 2 x 0 1 - y 2 d y = 2 ∫ 0 1     1 - y 2 1 3 + 1 3 y 2 + 1 3 y 4 d y V = 2 3 ∫ 0 1     1 - y 6 d y = 2 3 y - y 7 7 0 1 = 2 3 ⋅ 6 7 = 4 7

Resposta

Portanto o volume é igual a 4 7 .

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