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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 31

Calcule a integral indefinida

int (2^x)/(sqrt(3 . 2^x + 4)) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

int a^x d x = (a^x)/(ln a)

Propriedade da exponencial

a^b = e^(b ln (a))

Passo 2

Usaremos propriedade da exponente

2^x = e^(x l n 2)

Logo Nossa função fica

int (2^x)/(sqrt(3 . 2^x + 4)) d x = int (e^(x l n 2))/(sqrt(3 . e^(x l n 2) + 4)) d x

Aplicando integração por substituição:

u = 3 . e^(x l n 2) + 4

du = l n 2 e^x d x

Assim temos :

int (1)/(l n 2) ((1)/(sqrt(u))) d u

= (2)/(l n 2) sqrt(u)

= (2)/(l n 2) sqrt(3 . e^(x l n 2) + 4)

= (2)/(l n 2) sqrt(3 . 2^x + 4)

E como é uma integral indefinida temos que somar a uma constante arbitrária C.

Resposta

int (2^x)/(sqrt(3 . 2^x + 4)) d x = (2)/(l n 2) sqrt(3 . 2^x + 4) + C

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