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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 32

Calcule a integral indefinida

int (10^x + 1)/(10^x - 1) d x

Passo 1

Propriedade de integral

int_b^a f (x) d x = F (a) - F (b)

int_b^a f (x) + g (x) d x = int_b^a f (x) d x + int_b^a g (x) d x

int_()^() x^n = (x)/(n + 1)^(n + 1)

int a^x d x = (a^x)/(ln a)

Propriedade da exponencial

a^b = e^(b ln (a))

Passo 2

Usaremos propriedade da exponente

10^x = e^(x l n 10)

Logo fazendo

u = 10^x = e^(x l n 10)

du = ln10 . e^(x l n 10) dx = ln10 . u dx

Logo Nossa função fica

int (10^x + 1)/(10^x - 1) d x = int (u + 1)/(u - 1) . (1)/(ln 10 u) d u

Expandindo nossa integral

(u + 1)/(u (u - 1)) = (u)/(u (u - 1)) + (1)/(u (u - 1))

= (1)/(u - 1) + (1)/(u (u - 1))

Expandindo (1)/(u (u - 1))

(1)/(u (u - 1)) = (1)/(u - 1) - (1)/(u)

Logo temos

int (u + 1)/(u - 1) . (1)/(ln 10 u) d u = (1)/(l n 10) int (1)/((u - 1)) + (1)/(u - 1) - (1)/(u) d u

= (1)/(l n 10) int (2)/((u - 1)) - (1)/(u) d u

= (1)/(l n 10) (2 ln (u - 1) - l n u)

= (1)/(l n 10) (2 ln (10^x - 1) - l n 10^x)

E como é uma integral indefinida temos que somar a uma constante arbitrária C.

Resposta

int (10^x + 1)/(10^x - 1) d x = (1)/(l n 10) (2 ln (10^x - 1) - l n 10^x) + C

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