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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 70

Calcule as integrais nos Exercícios 69 e 70.

int (sin sqrt(theta))/(sqrt(theta cos^3 sqrt(theta))) d theta

Passo 1

Vamos começar fazendo uma substituição de variável para ver se facilita essa equação feia aí:

u = sqrt(theta)

Derivando dos dois lados:

d u = (d theta)/(2 sqrt(theta))

2 d u = (d theta)/(sqrt(theta))

Substituindo na integral:

int (sin sqrt(theta))/(sqrt(theta cos^3 sqrt(theta))) d theta = int (sin sqrt(theta))/(sqrt(cos^3 sqrt(theta))) * (d theta)/(sqrt(theta)) = int (sin u)/(sqrt(cos^3 u)) * 2 d u

Passo 2

Fazendo mais uma mudança de variável:

w = cos u

Derivando dos dois lados:

d w = - sin u d u

- d w = sin u d u

Substituindo na integral:

2 int (sin u)/(sqrt(cos^3 u)) d u = 2 int (1)/(sqrt(cos^3 u)) sin u d u = - 2 int (1)/(sqrt(w^3)) d w

Passo 3

Vamos resolver a integral agora:

- 2 int (1)/(sqrt(w^3)) d w = - 2 int w^(- (3)/(2)) d w = - (2 w^(- (3)/(2) + 1))/(- (3)/(2) + 1) = - (2 w^(- (1)/(2)))/(- (1)/(2)) = (4)/(sqrt(w))

Agora temos que fazer a subtituição ao contrário para resolvermos o exercício:

(4)/(sqrt(w)) = (4)/(sqrt(cos u)) = (4)/(sqrt(cos sqrt(theta))) + C

Protinho!!!

Resposta

(4)/(sqrt(cos sqrt(theta))) + C

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