Resolve a integral abaixo:

29 –

∫ 5 π / 6   π cos 4 ⁡ x 1 - s e n   x   d x

Passo 1

∫ 5 π / 6   π cos 4 ⁡ x 1 - s e n   x   d x

Agora vamos resolver a integral pelo método de substituição udu:

u = s e n   x

d u =   c o s   x

d x = 1 d u =   1 c o s   x

u = s e n   x   ,   x = a r c s e n ( u )

Vamos substituir e considerar a integral com indefinida:

∫ cos 4 ⁡ x 1 - u ⋅ 1 cos ⁡ x d u =   ∫ cos 4 ⁡ x cos ⁡ x   1 - u d u =   ∫ cos 3 ⁡ x 1 - u d u  

Substituindo o x por x = a r c s e n ( u )

∫ cos 3 ⁡ a r c s e n ( u ) 1 - u d u

Passo 2

Dado a identidade trigonométrica:

cos ⁡ s e n - 1 u =   1 - u 2  

Substituindo na integral:

∫ 1 - u 2 3 1 - u d u

Utilizando a regra do radical:

u = u 1 2

∫ 1 - u 2 1 2 3 1 - u 1 2   d u =   ∫ 1 - u 2 3 2 1 - u 1 2 d u =  

Utilizando a propriedade matemática, que:

x a m y a m = x a y b m

Assim:

∫ 1 - u 2 3 2 1 - u 1 2 d u =   ∫ 1 - u 2 3 1 - u

Assim:

- u 2 + 1 =   - u 2 - 1 = - ( u 2 - 1 2 ) = - ( u + 1 ) ( u - 1 )

Assim:

- u + 1 u - 1 3 = - 1 3 u + 1 3 u - 1 3 =   - u + 1 3 u - 1 3

Inserindo na integral:

∫ - u + 1 3 u - 1 3 - ( u - 1 ) d u =   ∫ - u + 1 3 u - 1 2 - 1 d u =   ∫ u + 1 3 u - 1 2 d u

Separando os radicais:

∫ u + 1 3 ⋅ u - 1 2 d u =   ∫ u + 1 3 2 ⋅ u - 1   d u

Ajustando os limites de integral:

u = s e n ( x )

u a = s e n   π = 0

u b = s e n 5 π 6 = 1 2

Assim:

∫ 1 2 0 u + 1 3 2 ⋅ u - 1 d u

Utilizando a propriedade:

∫ a b f x d x =   - ∫ b a f x d x

- ∫ 0 1 2 u - 1 u + 1 3 2 d u

Passo 3

Utilziando a integração por partes: ada bdb

a = u - 1

d a = 1   d u

d b = u + 1 3 2

b =   ∫ u + 1 3 2 d u = 2 5 u + 1 5 2 + C

Assim:

∫ a d b = a b - ∫ d a b

Assim:

∫ u - 1 u + 1 3 2 d u = u - 1 2 5 u + 1 5 2 - ∫ 2 5 u + 1 5 2 d u

Assim:

- ( u - 1 ) ( 2 5 u + 1 5 2 - 5 ⋅ 4 35 u + 1 7 2 0 1 2 = - u - 1 2 5 u + 1 5 2 - 4 7 u + 1 7 2 0 1 2 =

Assim:

- 1 5 2 u - 1 u + 1 5 2 - 4 7 u + 1 7 2 0 1 2

Passo 4

Aplicando os limites de integração:

- 1 5 2 1 2 - 1 1 2 + 1 5 2 - 4 7 1 2 + 1 7 2 - 2 0 - 1 0 + 1 5 2 - 4 7 0 + 1 7 2

Resolvendo as operações:

- 1 5 - 1 3 2 5 2 - 4 7 3 2 7 2 - - 2   1 5 2 - 4 7 1 7 2

- 1 5 - 3 2 5 2 - 4 7 3 2 7 2 - - 2 - 4 7

- 1 5 - 3 2 5 2 - 4 7 3 2 7 2 - - 18 7

Multiplicando por 1 5

- - 1 5 3 2 5 2 - 1 5 ⋅ 4 7 3 2 7 2 - 1 5 - 18 7 = - - 1 5 3 2 5 2 - 4 35 3 2 7 2 + 18 35

Fazendo os cálculos e multiplicações:

1 5 3 2 5 2 + 4 35 3 2 7 2 - 18 35

Resposta

1 5 3 2 5 2 + 4 35 3 2 7 2 - 18 35

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